Karmaşık Sayılar ve İfadeleri
Bilgi Kulübü kategorisinde ve Matematik & Geometri forumunda, bulunan Karmaşık Sayılar ve İfadeleri konusunu görüntülemektesiniz. KARMAŞIK SAYILAR VE İŞLEMLERİ GİRİŞ Karmaşık sayılar alternatif akım devrelerinin çözümünde çok kullanılırlar .Bu sayıların alternatif akım devrelerce kullanılması ile ...
|
|||||||
|
Kayıt | SSS | Üye Listesi | Takvim | Konuları Okundu İşaretle |
15-02-2008, 07:39
|
#1 (permalink) |
Karmaşık Sayılar ve İfadeleri
GİRİŞ Karmaşık sayılar alternatif akım devrelerinin çözümünde çok kullanılırlar .Bu sayıların alternatif akım devrelerce kullanılması ile vektörel işlemler cebirsel işlem halin dönüşür. Bu bölümde karmaşık sayılar tanıtılacak ve çeşitli işlemlerin nasıl yapılacağı gösterilecektir. Vektörleri bilinen karmaşık büyüklükleri cebirsel veya skaler büklüklerden ayırmak için sembol harfi üzerinde bir vektör işareti, ya bir çizgi yada bir nokta kullanılır. Örneğin bir A karmaşık sayısı, veya veya veya A şeklinde gösterilir A-SAYILARIN TANIMI 1-Gerçel sayılar Gerçel (reel) sayılar, rasyonel ve irrasyonel sayılardan meydana gelir. Yatay eksen üzerinde alınan gerçel sayılar ekseninin her noktasında bir gerçel sayı vardır.(Şekil 7-1). 1; 2; 3,5; - ;-3; -27 gibi sayılar gerçel sayılardır. - -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 Şekil 7 -1 Gerçel sayılar ekseni 2-Sanal sayılar Negatif gerçel sayıların kökleri sanal (imajiner , hayali) sayılardır. Örneğin ; ; ; gibi.Eğer değ*erini “j” sembolü ile gösterirsek,yani, J= Dersek , =j2 ; =j ; =j5 olur. Şu halde sanal sayılar J sembolü ile birlikte bulunurlar. Sanal sayılar düşey eksen üzerinde gösterilir. ( (Şekil 7-2). J3 J2 J J1 0 -J1 J -J2 Şekil 7 -2: Sanal sayılar ekseni Matematikte “i” ile gösterilen sanal sayılar, elektrikte akım ile karışmaması için “j” ile gösterilir. “j” nin kuvvetlerinin aşağıdaki gibi olacağını kolaylıkla çıkarabiliriz. J= J =( ) =-1 J = ( ) . =-1. =-j j =( ) .( ) =(-1).(-1)=1 1-Karmaşık sayılar Karmaşık (kompleks) sayılar, gerçel ve sanal sayılardan oluşmuştur.Yani bir karmaşık sayının içinde hem gerçel sayı ve hem de sanal sayı vardır.Karmaşık sayılara örnek olarak, 2+j3 ; 3-j4 ; -5+j2 ; -3-j3 sayılarını gösterebiliriz. Bu karmaşık sayılar, gerçel ve eksenin birlikte bulunduğu Şekil 7 -3 de gösterilmiştir. Sanal sayılar ekseni J4 J3 2+j3 -5+j2 J2 J1 Gerçel sayılar ekseni -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -j1 j2 -3-j3 -j3 -j4 3-j4 -j5 b Şekil 7-3 Karmaşık sayılar Bir sayının başlangıç noktası ile birleşmesiyle o sayı temsil ettiği vektör elde edilir. Şekil 7-4 de A gerçel sayısının, B sayısının ve C ile D karmaşık sayısının temsil ettikleri vektörler gösterilmiştir. A gerçel sayısının, sanal kısmı olmayan bir karmaşık sayı gibi düşünebiliriz. Aynı şekilde B sanal sayısını da gerçel kısmı olmayan bir karmaşık sayı olarak düşünebiliriz. A,B,C ve D karmaşık sayılarına A,B,C,D vektörleri de denir. Sanal sayılar ekseni J3 J2 C=3+J2 D=4+J1 J1 0 -4 -3 -2 -1 –j1 1 2 3 4 Gerçel sayılar ekseni -j2 B=-J2 -j3 Şekil 7 –4 : Sayılar temsil ettikleri vektörler B- KARMAŞIK SAYILARIN GÖSTERİLİŞ ŞEKİLLERİ Karmaşık sayılar veya vektörler üç şekilde gösterilir. Bular aşağıda incelenmiştir. 1- Dik bileşenler şeklinde gösterilişi: Bu gösteriliş şeklinde karmaşık sayı veya vektör yatay ve düşey eksen üzerindeki izdüşümleri ile gösterilir. Bu izdüşümler vektörün birbirine dik olan birleşenidir. düşey eksen b A=a+jb a yatay eksen Şekil 7-5 Bir vektörün dik bileşenler şeklinde gösterilmesi Şekil 7-5 deki A vektörünün yatay eksen üzerindeki bileşeni a ve düşey eksen üzerindeki bileşeni b olduğuna göre A vektörü, A=a+jb Şeklinde gösterilir. a bileşeni gerçel sayılar ekseni üzerinde olduğundan gerçel bir sayıdır. b bileşeni ise sanal ekseni üzerinde bulunduğundan,sanal bir sayıdır. bunun için b bileşeni j ile birlikte gösterilir. Şekil 7 –4 deki vektörlerde dik bileşenler şeklinde gösterilmiştir Dik bileşeninden vektörün büklüğünü(mutlak değerini) ve yatayla yaptığı açıyı bulabiliriz. Şekil 7 –5 deki A vektörün büyüklüğü, A =a veya yatay yaptığı açı ise =tan dır. Burada tan ,tanjantı a/b olan açı anlamındadır. Tan =arctyan olaraktan ifade edilir. Diğer taraftan Cos =(a/A) ve sin =(b/A) olduğundan, a ve b birleşeni için, a=A. cos b=A. sin yazılır. Bu ifadeler, Formül 7 –1 de yerine yazılırsa, A vektörü için, A=a+jb=A. Cos +j. A. Sin veya, A=A(Cos +j sin ) Elde edilir. Burada A, vektörün büyüklüğü ve da vektörün yatay yaptığı açıdır. 2 – Kutupsal gösteriş Bu gösteriş şeklinde vektör, büyüklüğü ve pozitif yatay eksenle yaptığı açı ile gösterilir. Şekil 7-6 da A vektörün büyüklüğü (mutlak değeri ) A veya pozitif yatay eksenle yaptığı açı - olduğuna göre kutupsal gösterişi, A=A/ dir. Bu gösterişte A ve açı işareti içindeki - birbiri ile çarpma şeklinde düşünülmelidir. Formül 7-6 sadece bir gösteriş şeklidir. Düşey eksen A=A A Yatay eksen Şekil 7- 6: Bir vektörün kutupsa şeklinde gösterilmesi Şekil 7-7 de A ,B, C, ve D vektörleri kutupsa şekilde gösterilmiştir. Bu vektörlerin açılarının pozitif yatay eksenden itibaren alındığına dikkat ediniz. Düşey eksen D=6 4 6 170 45 pozitif açılar Yatay eksen 5 A=5 -60 negatif açılar C=3 Şekil 7- 7 Bundan dolayı pozitif yatay eksene “başlangıç ekseni “denir.Ayrıca saat ibresi hareketinin ters yönünde oluşan açılar pozitif, saat ibresi hareketi yönünde oluşan açılarda negatif işareti gösterilir. Vektörün yatay ve düşey eksenler üzerindeki bileşenleri (gerçel ve sanal bileşenleri) yine Formül 7-4 den bulunur. 3-Üstel gösteriliş: Bu gösteriliş şeklinde yine vektörün büyüklüğü açısı belirtilir. Şekil 7-8 deki A vektörünün üstel şeklinde gösterilişi, A=A e dir. Burada e=2,718 olup, tabii (veya neper) logaritma tabanıdır. Düşey eksen A=Ae A Yatay eksen Şekil 7-8:Bir vektörün üstel şeklinde gösterilmesi Üstel gösteriliş şeklinin basitleştirilmiş hali kutupsal gösteriliştir. Bunun için biz karmaşık sayıların veya vektörlerin üstel gösteriliş şeklini kullanmayacağız. C-“-1” VE “j” ÇARPANLARI Şekil 7-9 daki A vektörü pozitif yatay eksen (başlangıç ekseni) üzerindedir. Eğer bu A vektörünü -1 ile çarparsak, -A elde edilir ki bu vektör negatif yatay eksen üzerindedir. jA -A 180 90 A 180 90 -jA Şekil 7-9 Şu halde -1 ile çarpılan vektörler 180 döndürülmüştür. Şimdi de A vektörünün j ile çarpalım. Vektör, jA olacaktır. Bu vektörde pozitif düşey eksen üzerinde bulunacağından, A vektörüne göre saat ibresi hareketini ters yönünde 90 döndürülmüştür. Eğer A vektörü –j ile çarpılırsa, -jA vektörü elde edilir ki bu vektörde negatif düşey eksen üzerindedir. Buradan da –j ile çarpılan bir vektörün saat ibresi hareketi yönünde 90 döndürüleceği anlaşılır. Burada -1 ve j’nin bir yönlendirici olarak yaptıkları görevi gösterdik . D –KRMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ Dik bileşenler şeklinde gösterilen bir karmaşık sayının eşleniği, sanal kısmının işareti değiştirilerek elde edilir. A karmaşık sayısı ve bunun eşleniği olan A sayının sırsıyla, A=a+ jb A =a+ jb dır. A=2-j3 ise, eşleniği A =2+j3 dür. B=-4+j2 ise eşleniği B =-4-j2 dır. Kutupsal şekilde gösterilen bir karmaşık sayının eşleniği ise, açının işareti değiştirilerek bulunur. A sayısı ve bunun eşleniği olan A sayısı sırasıyla, A=A/ A =A/ dır. A =4/ ise, eşleniği A =4/ dır. B=20 / ise, eşleniği B =20 / dır. E-DİK BİLEŞEN VE KUTUPSAL GÖSTERİLİŞLERİN BİRBİRİNE CEVRİLMESİ Dik bileşenler bir vektör kutupsa şekille ve kutupsal şekildeki bir vektör de dik bileşenler şekline çevrilebilir. Dik bileşenler şeklindeki A=a+jb vektörünün, kutupsal A=A / vektörüne çevrilmesi için A büyüklüğü ve açının a ve b cinsinden bulunması gerekir. A büyüklüğü Formül 7-2 de ve yatayla yaptığı açısında Formül 7-3 de verilmişti. Buradan, A=a+jb= yazılır. Bu formül dik bileşenler şeklinin kutupsal şekle çevrilmesinde kullanılır. Kutupsal şekildeki A=A / vektörü, dik bileşenler şeklindeki A=a+jb Vektörüne çevirmek için, a ve b bileşenleri A ve cinsinden bulunmalıdır. Formül 7-4 de a ve b bileşenleri A ve cinsinden verilmiştir. Buradan; A=A/ yazılır. Bu formül kutupsal şeklin dik bileşenler şekline çevrilmesinde kullanılır. Örnek 7-1: Z=3-j4 vektörünü kutupsal şekle çeviriniz. Çözüm: formül 7-8 kullanarak, Z=3-j4= = 5/ bulunur. Burada negatif açıların tanjantının da negatif olacağı unutulmamalıdır. Örnek 7-2: Y=20/ ve U=100/ vektörünün dik bileşenler şekline çeviriniz. Çözüm:formül 7-9 kullanarak, Y=20/ =20.cos +j20.sin =17,3+j10 ve U=100/ =100.cos(-65 )+j100.sin(-65 ) =42,2-j90,6 bulunur. Burada negatif açıların kosinüslerin pozitif, sinüslerin ise negatif olduğu unutulmamalıdır. F – KARMAŞIK SAYILARIN DÖRT İŞLEMİ 1- Toplama ve çıkarma: Toplama ve çıkarma işlemi yalnız dik bileşen şeklinde gösteriliş ile mümkündür. Kutupsal şekilde toplama ve çıkarma işlemi yapılmaz. Kutupsal şekil ancak dik bileşen şekline çevrilerek toplanabilir veya çıkarılabilir. Dik bileşenle şeklindeki vektörlerin toplama işleminde, gerçel kısımlar kendi aralarında, sanal kısımlar kendi aralarında toplanır. A=a+jb ve B=c-jd ise,bunların toplamı A+B=(a+c)+j( b-d) olur. Çıkarma işlemi de toplama işlemine benzer. Yukarıdaki A ve B vektörlerinin farkı, A-B=(a+jb)-( c-jd)=(a-c)+j(b+d) Örnek 7-3: A=2+j5 ve B=4-j2 vektörlerin toplamını bulunuz. Çözüm: A+B=(2+j5)+(4-j2)=(2+4)+j(5-2) =6+j3 olur. Şekil 7-10 da A ve B vektörleri ile bunların toplamları gösterilmiştir. A ve B vektörler paralel kenar yöntemi ile toplanınca yine aynı toplamın bulunacağına dikkat ediniz. J5 J4 J3 J2 J1 0 1 2 3 4 5 6 -j1 -j2 şekil 7-10 Örnek 7-4: U-=50/ ve U-=30/ olduğuna göre U yi bulunuz. Çözüm: çıkarma işleminin yapıla bilmesi için önce her birini dik bileşen şekline çevirelim. U =50/ =35,35+j35,35 U =30/ =15+j25,98 Şimdi çıkarma işlemi, U -U =(35,35+j35,35)-(15+j25,98) =35,35+j35,35-15-j25,98 =20,35+j9,37 olarak elde edilir. 2- Çarpma: Dik bileşen şeklindeki gösterişe çarpma cebir kuralına göre yapılır. A=a+jb ve B=c-jd İse A ile B nin çarpımı A.B=(a+jb).(c-jd)=ac-jad+jbc-j bd Ve j=-1olduğunden, A.B=(ac+bd)+j(bc-ad) Olur. Kutupsal gösterişte çarpma işlemi, büyüklüklerin çarpımı ve açıların toplamı ile gerçekleştirilir. A=A/ ve B=B/ , ise A ile B nin çarpımı, A.B=(A/ ).(B/ )=A.B/ dır. Örnek 7-5: I=2+j3 ve Z=4+j2 dır. I.Z yi bulunuz. Çözüm: I.Z=(2+j3).(4+j2)=8+j4+j12+j 6 =2+j16 Örnek 7-6: U=100/ ve Y=3/ dır. U.Y yi bulunuz. Çözüm: U.Y=(100/ ).(3/ )=100.3/ =300/ 3- Bölme: Dik bileşen şeklindeki karmaşık sayıların bölünmesi işleminde payda gerçel duruma getirilmelidir. Bunun için paydanın eşleniği ile pay ve payda çarpılır. Bundan sonra bölme işlemi yapılır. A=a+jb ve B=c-jd ise A nın Bye bölümü, - = = olur. Kutupsal şekildeki karmaşık sayıların bölme işlemi daha kolaydır. Büklükleri bölünür ve paydanın açısı, payın açısından çıkarılır. A=A/ ve B=B/ İse A nın B ye bölümü, Örnek 7-7: U=36+j12 ve Z=8-j4 dür. U/Z i bulunuz. Çözüm: = =3+j3 Örnek 7-8:K=240/ ve L=20/ dır. K/L değerini bulunuz. Çözüm: = SORULAR 1- sayıları sınıflandırarak , bunları örnekle açıklayınız. 2- Gerçel, sanal ve komleks temsill ettikleri vektörleri şekil çizerek gösteriniz. 3- “J” ve kuvvetlerinin değerlerini yazınız. 4- karmaşık sayıların gösteriş şeklini bir örnekle açıklayınız. 5- sanal kısmı sıfır olan bir karmaşık sayıyı dik bileşen ve kutupsal şekilde gösteriniz. 6- gerçel kısmı sıfır olan bir karmaşık sayıyı dik bileşen ve kutupsal şekilde gösteriniz. 7- kutupsal şekildeki bir vektörün açısı hangi eksen dikkate alınarak ölçülür. 8- “-1” ve ”J” nin vektörlerin yönlendirilmesinde nasıl etkili olduklarını birer örnekle açıklayınız. 9- Pozitif yatay eksen üzerindeki bir vektör bir, iki, üç ve dört defa “J” ile çarpılırsa hangi eksen üzerinde bulunur. 10- Karmaşık sayının her iki gösterilişinde de eşleniğin nasıl alınacağını birer örnekle açıklayınız. 11- Dik bileşen şeklindeki vektörün kutupsal şekle dönüştürülmesi için gerekli formülü yazınız. PROMLEMLER 1- Aşağıdaki sayıları temsil eden vektörleri koordinat üzerinde gösteriniz. a) 2- 2j d) 4+ j4 g) -4 b) 3+j8 e) 5+j0 h) –j5 c)5-j3 f) j6 2- Promlem birdeki karmaşık sayıları kutupsal şekilde gösteriniz. 3- Aşağıdaki karmaşık sayıları temsil eden vektörlerin koordinat ekseni üzerinde gösterniz a) 10/ d) 5/ b) 25/ e) 2/ c) 0,2/ f) 2/ 4- Problem 3 deki sayıları dik bileşenler şeklinde gösteriniz. 5- problem 1 ve 3 deki sayıların eşleniklerini yazınız.. 6- Aşağıdaki işlemleri yapınız. a) (5-j2)+(-3-j8) d) (2,83/ )-(2-j8) b) (5-j2)-(-3-j8) e) (10+j1)+6-(13,45/ ) c) (-4-j6)+(2+j4) f) (5/ )-(4/ ) 7- Aşağıdaki çarpma işlemlerini yapınız. a) (2/ )(5/ ) d) (-1-j1).(1+j1) b) (2+j3).(-1-j3) e) (1/ ).(25/ ).(0,2/ ) c) (2+j0).(2+j3) f) (j1,6).(2,6+j1) 8- aşağıdaki bölme işlemlerini yapınız. a) (5+j5)/(1—j1) d) (6,88/ )/(2+j1) b) (5-j10)/(3+j4) e) (7/ )/(5/ ) c)8+j12/j2 f)1/(6+j8) Problemlerin Cevapları 2- a) 2,82/ e) 5/ b) 8,45/ f) 6/ c) 5,83/ g) 4/ d) 5,56/ h) 5/ 4- a) 8,66+j5 c) 0,14-j0,14 e) 2 b)j25 d)-j5 f)1-j1,73 5- problem 1 deki için, a) 2+j2 e) 5-j10 b)3-j8 f) -j c)5+j3 g) -4 d)4-j4 h) j Problem 3 deki‘ler için, a) 10/ d) 5/ b) 25 / e) 2/ c) 0,2 / f) 2/ 6- a) 2+j10 d) j10 b) 8+j6 e) 6+j10 c)-2-j2 f)-4+j2 7- a) 10/ d) –j2 b) 7-j9 e) 5/ c) 6-j6 f)-1,6+j4,16 8- a) j5 d) 3,08/ b) -1-j2 e)1,4/ c) 6+j4 f) 0,1/ KARMAŞIK SAYILARIN ALTERNATİF AKIM DEVRELERİNE UYGULANMASI GİRİŞ Sinüsel alternatif büyüklükleri vektörle gösterilmiştir. Bunların işlemlerinde vektörel işlemlerin olduğunu biliyoruz. Karmaşık sayıların kullanılması ile vektörel işlemler, cebirsel işlemler şeklinde düşünülür. Bundan dolayı karmaşık sayılar, alternatif akım devrelerinde büyük kolaylık sağlar. Doğru akım devrelerine uygulanan bütün kural ve kanunlar aynı şekilde alternatif akım devrelerine uygulanabilir. |
|
|
|
| Reklamlar |
|
 |
| Etiketler |
| karmasik, sayilar, ifadeleri |
«
Tam Sayilar
|
mat2 determinant
»
Şu an bu konuyu görüntüleyen üye sayısı: 1 (0 üye ve 1 misafir) |
|
| Konu Araçları | |
| Mod Seç | |
Linear Mode
|
|
|
||||
| Konu | Konuyu Başlatan | Forum | Cevap | Son Mesaj |
| Trigonometri Logaritma Ve Karmaşık Sayılar!! | cüneyt | Matematik & Geometri | 0 | 23-12-2007 10:43 |
| Karmaşık Duygular | Gizem_Lee | Amatör Aşk Şiirleri | 0 | 10-12-2007 10:22 |
| Msn İfadeleri Karışık | KaRizZMa | MSN-Avatar-SmiLe-Tema-Nick | 2 | 03-09-2007 17:18 |
| ....::::MSN İfadeleri::::.... | >>D@R€D€V!L<< | Çöp Tenekesi | 2 | 19-07-2007 22:48 |
Bütün Zaman Ayarları WEZ +3 olarak düzenlenmiştir. Şu Anki Saat: 10:41 .
